Авиация Сопло Лаваля - Принцип действия

22 января 2011


Оглавление:
1. Сопло Лаваля
2. Принцип действия
3. Скорость истечения газа из сопла



Феномен ускорения газа до сверхзвуковых скоростей в сопле Лаваля был обнаружен в конце XIX в. экспериментальным путём. Позже это явление нашло теоретическое объяснение в рамках газовой динамики.

При следующем анализе течения газа в сопле Лаваля принимаются следующие допущения:

  • Газ считается идеальным.
  • Газовый поток является изоэнтропным и адиабатическим.
  • Газовое течение является стационарным и одномерным, то есть в любой фиксированной точке сопла все параметры потока постоянны во времени и меняются только вдоль оси сопла, причём во всех точках выбранного поперечного сечения параметры потока одинаковы, а вектор скорости газа всюду параллелен оси симметрии сопла.
  • Массовый расход газа одинаков во всех поперечных сечениях потока.
  • Влияние всех внешних сил и полей пренебрежимо мало.
  • Ось симметрии сопла является пространственной координатой \, x .

Отношение локальной скорости \,v к локальной скорости звука \, C обозначается числом Маха, которое также понимается местным, то есть зависимым от координаты \, x :

M = \frac{v}{C}    

Из уравнения состояния идеального газа следует: \frac{dp}{d\rho}=C^2, эдесь \,\rho — локальная плотность газа, \, p — локальное давление. С учётом этого, а также с учётом стационарности и одномерности потока уравнение Эйлера принимает вид:


        v\frac{dv}{dx}
      = - \frac{1}{\rho}\cdot \frac{dp}{dx}
      = - \frac{1}{\rho}\cdot \frac{dp}{d\rho}\cdot \frac{d\rho}{dx}
      = - \frac{C^2}{\rho}\cdot \frac{d\rho}{dx}
,
что, учитывая, преобразуется в \frac{1}{\rho}\cdot \frac{d\rho}{dx} = -M^2\cdot \frac{1}{v}\cdot \frac{dv}{dx}.     

Уравнение является ключевым в данном рассуждении.
Рассмотрим его в следующей форме:

\frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dx} / \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = -M^2     


Величины \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dx} и \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} характеризуют относительную степень изменяемости по координате \,x плотности газа и его скорости соответственно. Причем уравнение показывает, что соотношение между этими величинами равно квадрату числа Маха. Таким образом, на дозвуковых скоростях \, плотность меняется в меньшей степени, чем скорость, а на сверхзвуковых \, — наоборот. Как будет видно дальше, это и определяет сужающуюся-расширяющуюся форму сопла.

Поскольку массовый расход газа постоянен:

\rho\cdot v\cdot A = \mathsf{const},

где \, A — площадь местного сечения сопла,

::\ln \rho + \ln v + \ln A = \ln,

дифференцируя обе части этого уравнения по \, x , получаем:

\frac{1}{\rho}\cdot \frac{d\rho}{dx} + \frac{1}{v}\cdot \frac{dv}{dx} + \frac{1}{A}\cdot \frac{dA}{dx} = 0

.

После подстановки из в это уравнение, получаем окончательно:

\frac{dA}{dx} = \frac{A}{v}\cdot\frac{dv}{dx}\cdot     

Заметим, что при увеличении скорости газа в сопле знак выражения \frac{A}{v}\cdot\frac{dv}{dx} положителен и, следовательно, знак производной \frac{dA}{dx} определяется знаком выражения: \,

Иллюстрация работы сопла Лаваля. По мере движения газа по соплу, его абсолютная температура Т и давление Р снижаются, а скорость V возрастает. М — число Маха.

Из чего можно сделать следующие выводы:

  • При дозвуковой скорости движения газа \,, производная \frac{dA}{dx}<0 — сопло сужается.
  • При сверхзвуковой скорости движения газа \,, производная \frac{dA}{dx}>0 — сопло расширяется.
  • При движении газа со скоростью звука \,, производная \frac{dA}{dx}=0 — площадь поперечного сечения достигает экстремума, то есть имеет место самое узкое сечение сопла, называемое критическим.

Итак, на сужающемся, докритическом участке сопла движение газа происходит с дозвуковыми скоростями. В самом узком, критическом сечении сопла локальная скорость газа достигает звуковой. На расширяющемся, закритическом участке, газовый поток движется со сверхзвуковыми скоростями, ускоряясь. Это ускорение происходит благодаря тому, что волна снижения давления от расширившейся порции газа в сверхзвуковом потоке не успевает распространиться на следующие за ней другие порции. Закон Бернулли в этих условиях не выполняется. Как следствие этого, имеем полезную работу.
Перемещаясь по соплу, газ расширяется, его температура и давление падают, а скорость возрастает. Внутренняя энергия газа преобразуется в кинетическую энергию его направленного движения. КПД этого преобразования в некоторых случаях может превышать 70 %, что значительно превосходит КПД реальных тепловых двигателей всех других типов. Это превосходство имеет объяснение. Во-первых, рабочее тело не передаёт механическую энергию никакому посреднику, а в реальных тепловых двигателях на этой передаче имеют место большие потери. Во-вторых, газ проходит через сопло так быстро, что не успевает отдать заметное количество своей тепловой энергии через теплоотдачу стенкам сопла, что позволяет считать процесс адиабатическим. У реальных тепловых двигателей других типов нагрев конструкции составляет существенную часть потерь. Автомобильный двигатель, например, работает больше на радиатор охлаждения, чем на выходной вал.



Просмотров: 13869


<<< Сверхзвуковая скорость
Сопловой насадок >>>